빨대 또는 터널 등과 같은 형태의 원통 ㄱ과 ㄴ은
빨대의 구멍이 1개라고 할 때는 더해서 총 2개의 구멍이 있고
빨대의 구멍이 2개라고 할 때는 더해서 총 4개의 구멍이 있음
이 때 ㄱ과 ㄴ의 원통을 결합해서 ㄱㄴ을 만들면
빨대의 구멍이 1개라고 할 때는 결합된 ㄱㄴ은 총 1개의 구멍이 있고
빨대의 구멍이 2개라고 할 때는 결합된 ㄱㄴ은 총 2개의 구멍이 있음
이것으로
빨때의 구멍이 1개라는 주장은 내부에서 하나로 연결된 공간을 구멍의 본질로 보고 있고,
빨대의 구멍이 2개라는 주장은 내부에서 외부로 연결된 공간을 구멍의 본질로 보고 있음
그래서
빨대의 구멍이 2개라고 주장하는 사람은 구조물 ㄷ의 구멍을 3개라고 주장하는데
빨대의 구멍이 1개라고 주장하는 사람도 구조물 ㄷ의 입구 x,y,z으로 연결되는 각각의 연결 경로를 중심으로 구멍이 3개라고 설명함(경로x-y,x-z,y-z)
각각의 주장은 각자의 논리가 있지만
빨대 구멍 1개측의 주장은 연결 경로가 구멍의 본질이라고 생각하기 때문에
역설적으로 연결 경로를 이어주는 내부 연결지점의 존재가 구멍의 갯수를 결정함
x,y,z를 연결하는 ㄷ구조물 중심의 연결지점 xyz'가 막혀있다면 구멍은 없는 것이 됨
그렇기 때문에 빨대의 구멍1개측은 "도넛의 구멍은 몇 개인가?"라는 질문에도 별도의 연결지점이 없는 도넛은 구멍이 0개라고 답해야 함
하지만 빨대의 구멍이 2개라는 주장측은 도넛의 구멍은 1개라고 답할 수 있고
x,y,z를 연결하는 ㄷ구조물 중심의 연결지점 xyz'가 막혀있어도 구멍은 3개라고 답할 수 있음
많은 원통 구조물을 하나로 연결하는 경우에
형태에 갖혀있는 공간의 일부인 내부의 연결지점은 하나의 공간으로 흡수되지만
외부로 뚫려있는 부분은 연결되면서 일부는 없어지고 일부는 외부로 노출됨
그리고 구멍이라는 것은 빨대처럼 양쪽이 입구가 연결된 구조물이 아니고
한쪽이 막혀있는 형태라고 하더라도 구멍이 있다는 것이 논쟁 이전의 보통의 생각이었음
내부의 공간에 연결되는 뚫려있는 지점을 우리가 일반적으로 구멍이라고 하는 점에서도 마찬가지임
어떤 공간을 내부에서 연결시키거나 한정하는 것은 구조물의 형태로 별도로 생각하는 것이 옳음
그런 점에서 터널이나 빨대를 구성하는 구조물을 하나의 터널 하나의 빨대라고는 할 수 있지만
하나의 터널과 빨대에 구멍이 하나라고 하는 것은 합리적이지 못함
그래서 내부에서의 연결 경로나 연결 지점의 존재가 구멍의 본질이라고 하기는 어려움
빨대 내부의 공간을 별도로 생각한다면
빨대가 구멍이 1개라는 측의 주장은 그 부분에서도 모순이 발생함
결론적으로 구멍이라는 것의 정의는
어떤 공간의 내부에서 연속적으로 연결되는 부분에 초점을 맞출 것이 아니라
나누어진 공간을 외부에서 연결하는 부분에 초점을 맞춰야 할 것이고
따라서 외부와 내부로 나누어진 공간이 있을 때
외부와 내부를 연결하는 부분의 빈 공간을 구멍이라고 해야한다고 생각함
따라서 빨대의 구멍은 2개
같은 이유로 도넛은 구멍이 하나임
상식적인 예를 들어서 설명하면 밀폐된 상자가 있을 때
이 상자의 한쪽 면을 송곳으로 찔러서 뚫는다면 발생하는 구멍은 1개이고 2개가 아님
같은 상자의 구멍이 뚫린 반대편의 뚫리지 않은 곳을 송곳으로 찔러서 뚫는다면 새롭게 발생하는 구멍은 1개이고 역시 2개가 아님
이 때 구멍의 합개는 총 2개가 됨
빨대가 구멍이 1개라는 측은 박스에 구멍이 2개가 만들어지면 중간의 공간이 연결되었기 때문에 구멍이 1개라고 말하지만 잘못된 주장임
그리고 그들은 같은 상자에 구멍을 하나 더 만들었을 때 구멍이 3개가 되는 이유를 논리적으로 설명하지 못하고
그렇게 3개인 구멍에서 하나를 막았을 때 구멍이 2개가 아니라 1개가 된다는 모순적인 주장까지 만들어냄
하지만 빨대가 구멍이 2개라는 측은 논리적인 설명이 가능한데
공간과 공간을 나누는 영역의 일부를 파괴해서 빈공간으로 만들고 그렇게 양 공간을 연결하는 공간이 구멍이라고 정의하기 때문임
음료수 캔을 생각하면 이해하기 더 쉬운데(그림 ㄹ참조)
음료수 캔을 개봉했을 때 발생하는 구멍은 1개이고 2개가 아님
그런데 빨대가 구멍이 1개라는 측은 빨대가 구멍이 2개라는 측의 논리대로라면 구멍이 이경우에도 2개라고 해야 된다고 주장함
이유는 캔의 구멍에도 길이가 있기 때문이라는 논리임
그러나 빨대가 구멍이 2개라는 측의 주장의 이유는 공간과 공간을 나누는 영역의 일부를 파괴해서 빈공간으로 만들고 그렇게 양 공간을 연결하는 공간이 구멍이기 때문에
이 때는 구멍이 1개라고 주장하는데 문제가 없음
오히려 빨대 구멍이 1개라는 측의 논리라면 만약 캔의 반대편을 뚫었을 때 구멍은 총 1개이거나 그들의 반박 논리로 구멍이 4개라는 말인데 어느쪽을 선택해도 상식적이지 못함
또는 빨대 내부의 형태가 원형에서 삼각형 사각형으로 변형될 때마다 일정 영역에 구멍이 발생했다고 해야하지만 그것도 상식적이지 못한 설명임
위의 상자로 돌아가서
상자에 뚫려진 공간에 도넛을 끼워넣어서 뚫려진 공간과 도넛이 일치했을 때에 그 공간은 하나로 일치함
뚫려진 공간이 별도로 2개가 되는 것은 아님
이런 이유들로 빨대는 구멍이 2개라는 주장측의 논리는 도넛은 구멍이 1개라는 주장과 모순이 없음
또다시 이런 설명의 반박으로 도넛을 크게 만들면 도넛 구멍도 무시할 수 없다는 논리로 구멍이 2개라는 주장이 있지만
미시적인 부분에 집착하지 않고 상식의 영역에서 생각한다면 그런 주장은 제논의 개소리와 같다고 생각함
도넛의 구멍 2개를 주장하는 사람들과 빨대의 구멍 1개를 주장하는 사람들은
"빨대의 구멍은 몇 개인가?"라는 질문에서 수학적 가설을 이용한 증명으로 구멍이 발생한 구조물을 변형해서
그 구조물의 유사성은 증명했겠지만 그런 증명에만 집착하고 구멍의 개념과 정의를 무시했기 때문에
구멍과 통로라는 서로 다른 개념을 혼동하고 빨대가 아닌 다른 대상으로 바꿔서 질문의 답을 하는 실수를 저지름
처음부터 사람들이 평범하게 생각하는 구멍의 예를 모아서 왜 구멍이라고 부르는지
그 이유와 개념부터 생각했었다면 이런 논쟁은 발생하지 않았을 것
그래서 도넛은 구멍이 1개
